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262 3. Estimaci´ on por intervalos

Proposici´on 3.11 Un intervalo de confianza al p1 ´ αq100 % para la
2
diferencia de medias θ ´ θ de dos distribuciones normales Npθ , σ q y
1
2
1
1
2
Npθ , σ q,cuandolas varianzas sonconocidas est´a dado por
2
2
c
σ 2 σ 2
¯
¯
pX ´ Y q˘ z α{2 1 ` 2 .
n m
Intervalo para la diferencia de dos medias
cuando las varianzas son desconocidas pero iguales

Considere nuevamente que X ,...,X es una muestra aleatoria de una dis-
n
1
2
tribuci´on Npθ , σ q ysea Y ,...,Y m otra muestra aleatoria, independiente
1
1
2
de la primera, de una distribuci´on Npθ , σ q.Observe que estamos en la
2
2
situaci´on cuando la varianza σ es com´un a ambas distribuciones. Consi-
2
deraremos que los tres par´ametros θ , θ y σ son desconocidos. Deseamos
2
1
encontrar un intervalo de confianza para la diferencia θ ´θ .Definamos las
1
2
siguientes varianzas muestrales.
n
1 ÿ
¯
2
S 2 “ pX ´ Xq ,
X i
n ´ 1
i“1
m
1 ÿ
¯
2
S 2 “ pY ´ Y q ,
Y i
m ´ 1
i“1
1
2
2
S 2 “ rpn ´ 1qS `pm ´ 1qS s.
n ` m ´ 2 X Y
El ´ultimo t´ermino es una varianza muestral combinada de las dos muestras.
Recordemos los siguientes resultados:
2
2
2
‚ pn ´ 1q S {σ „ χ pn ´ 1q.
X
2
2
2
‚ pm ´ 1q S {σ „ χ pm ´ 1q.
Y
2
2
2
2
‚ Las variables pn ´ 1q S {σ y pm ´ 1q S {σ son independientes.
X Y
2
2
2
2
2
‚ pn ´ 1q S {σ `pm ´ 1q S {σ „ χ pn ` m ´ 2q.
X Y