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3.6 Intervalo para la media de una dist. cualquiera 263

Tenemos adem´as estas otras afirmaciones:

¯
X ´ θ 1
‚ ? „ tpn ´ 1q.
S { n
X
¯
Y ´ θ 2
‚ ? „ tpm ´ 1q.
S { m
Y

¯ ¯
2
pX ´ Y q´pθ ´ θ q
1
‚ a „ tpn ` m ´ 2q.
S 1{n ` 1{m
El ´ultimo de estos resultados es el que tomaremos como cantidad pivotal.
Observe que en el denominador de esta ´ultima variable aleatoria aparece la
varianza muestral combinada S definida antes. Se puede encontrar un valor
t α{2 ą 0de la distribuci´on tpn ` m ´ 2q tal que

¯ ¯
pX ´ Y q´pθ ´ θ q
2
1
Pp´t α{2 ă a ă t α{2 q“ 1 ´ α,
S 1{n ` 1{m
de donde se obtiene el intervalo de confianza buscado.

Proposici´on 3.12 Un intervalo de confianza al p1 ´ αq100 % para la
2
diferencia de medias θ ´ θ de dos distribuciones normales Npθ , σ q
1
1
2
2
yNpθ , σ q,cuandolasvarianzas soniguales ydesconocidas, est´adado
2
por
c
1 1
¯
¯
pX ´ Y q˘ t α{2 S ` .
n m

3.6. Intervalo para la media

de una distribuci´on cualquiera

Consideremos una distribuci´on cualquiera cuya media es un par´ametro des-
conocido θ y una muestra aleatoria de tama˜no n de esta distribuci´on. Si n