Page 268 - EI2019.pdf

260 3. Estimaci´ on por intervalos

Intervalo para la varianza

2
Encontraremos un intervalo de confianza para la varianza θ ą 0de unadis-
tribuci´on normal. En este caso el resultado te´orico de utilidad es el siguiente:
dada una muestra aleatoria de tama˜no n de esta distribuci´on,

S 2 2
pn ´ 1q „ χ pn ´ 1q.
θ 2
Esta es la cantidad pivotal que nos ayudar´aa encontrarel intervalo buscado.
Dado un valor de α,usandoalg´un paquete computacional o mediante una
2
tabla de probabilidades de la distribuci´on χ pn ´ 1q, se pueden encontrar
dos valores 0 ă χ 2 ă χ 2 tales que
1´α{2 α{2

S 2
Pppn ´ 1q ă χ 2 q“ α{2,
1´α{2
θ 2
S 2
Pppn ´ 1q ą χ 2 q“ α{2.
α{2
θ 2
V´ease la Figura 3.7. El intervalo pχ 2 , χ 2 q no es necesariamente el de
1´α{2 α{2
longitud m´ınima, pero es tal que

S 2
Ppχ 2 ă pn ´ 1q ă χ 2 q“ 1 ´ α.
1´α{2 θ 2 α{2

fpxq

1 ´ α
α{2 α{2
x
χ 2 χ 2
1´α{2 α{2
Figura 3.7

2
Despejando la constante desconocida θ de las dos desigualdades anteriores
se obtiene el siguiente intervalo de confianza.