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3.5 Distribuci´ on normal 257

Intervalo para la media cuando la varianza es conocida

Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una distribuci´on normal con me-
1
n
2
dia desconocida θ yvarianza conocida σ .Encontraremosun intervalo de
confianza para θ.Comocada una delas variables dela muestra tienedis-
¯
2
2
tribuci´on Npθ, σ q,la media muestral X tiene distribuci´on Npθ, σ {nq.De
modo que, estandarizando,
¯
X ´ θ
? „ Np0, 1q.
σ{ n

En esta situaci´on, esta es la cantidad pivotal que nos ayudar´aa encontrarel
intervalo de confianza buscado. Para cualquier valor de α Pp0, 1q podemos
encontrar un valor z α{2 en tablas de probabilidad normal est´andar, v´ease la
Figura 3.5, tal que

¯
X ´ θ
Pp´z ă ? ă z q“ 1 ´ α.
α{2
σ{ n α{2
Como la funci´on de densidad normal est´andar es sim´etrica alrededor del

origen, el intervalo de longitud m´as peque˜na y sobre el cual esta funci´on
de densidad cubre un ´area igual a 1 ´ α, es necesariamente un intervalo
sim´etrico alrededor del origen. As´ı, el intervalo propuesto es de longitud
m´ınima.

φpxq

1 ´ α

α{2 α{2
x
´z α{2 z α{2

Figura 3.5

Despejando la constante desconocida θ se obtiene el siguiente resultado.