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3.4 Distribuci´ on exponencial 255

Proposici´on 3.6 Un intervalo de confianza para el par´ametro θ de la
distribuci´on unifpθ,cq,en donde c es conocido, est´adado por

2 1{n pc ´ X q 2 1{n pc ´ X q
p1q p1q
Pp c ´ ă θ ă c ´ q“ 1 ´ α.
α 1{n p2 ´ αq 1{n

3.4. Distribuci´on exponencial

Encontraremos un intervalo de confianza exacto para el par´ametro de la
distribuci´on exponencial, a partir de una cantidad pivotal que construiremos
acontinuaci´on. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on
1
n
exppθq.Sabemos quela variable aleatoria X `¨ ¨ ¨ ` X tiene distribuci´on
n
1
gamapn, θq.Porotrolado,paracualquier constante c ą 0y paracualquier
variable aleatoria continua X con funci´on de distribuci´on Fpxq yfunci´on de
densidad fpxq,se cumple que

F cX pxq“ F px{cq,
X
1
f cX pxq“ f px{cq.
X
c
Se pueden usar estos resultados para comprobar que, para el caso en estudio,

c pX `¨ ¨ ¨ ` X q„ gamapn, θ{cq.
1
n
Tomando c “ θ se encuentra que θ pX `¨ ¨ ¨ ` X q„ gamapn, 1q.Esta
1
n
variable aleatoria involucra al par´ametro θ y su distribuci´on est´a ahora
completamente especificada. Esta es la cantidad pivotal buscada. As´ı, para
cualquier valor α Pp0, 1q, se pueden encontrar dos valores positivos a ă b
tales que
Ppa ă θ pX `¨ ¨ ¨ ` X q ă bq“ 1 ´ α.
n
1
Una manera de determinar los valores de a y b es a trav´es de las siguientes
dos condiciones:

Ppθ pX `¨ ¨ ¨ ` X q ă aq“ α{2,
n
1
Ppθ pX `¨ ¨ ¨ ` X q ą bq“ α{2.
1
n