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254 3. Estimaci´ on por intervalos

Proposici´on 3.5 Un intervalo de confianza para el par´ametro θ de una
distribuci´on unifpc, θq,en donde c es conocido, est´adado por

2 1{n pX ´ cq 2 1{n pX ´ cq
pnq pnq
Pp c ` ă θ ă c ` q“ 1 ´ α.
p2 ´ αq 1{n α 1{n

Este intervalo se reduce al encontrado antes cuando c “ 0.

Tercer caso

Finalmente consideremos la distribuci´on unifpθ,cq, con c conocido y θ des-
conocido. Encontraremos un intervalo de confianza para θ.Sea X ,...,X n
1
una muestra aleatoria de esta distribuci´on. Entonces X ´ c, . . . , X ´ c es
1
n
una muestra aleatoria de la distribuci´on unif pθ ´ c, 0q. Multiplicando por
´1tenemos que c ´ X ,...,c ´ X es una muestra aleatoria de la distri-
1
n
buci´on unif p0,c ´ θq.Procedemos como antes. Puedecomprobarsequela
estad´ıstica c ´ X p1q es suficiente para c ´ θ yelcociente pc ´ X p1q q{pc ´ θq
tiene funci´on de densidad

#
nx n´1 si 0 ă x ă 1,
fpxq“
0 en otro caso.

Entonces, dado un valor de α Pp0, 1q,se puedenencontrar constantes a y b
tales que 0 ă a ă b ă 1 con

c ´ X p1q
Pp ă c q“ α{2,
1
c ´ θ
c ´ X
p1q
Pp ą c q“ α{2.
2
c ´ θ
1{n 1{n
V´ease nuevamente la Figura 3.3, en donde a “pα{2q y b “p1 ´ α{2q .
Estos valores de a y b no satisfacen que b ´ a sea m´ınimo pero son tales que

c ´ X
1{n p1q 1{n
Pppα{2q ă ă p1 ´ α{2q q“ 1 ´ α.
c ´ θ
Y de aqu´ı se obtiene el siguiente resultado.