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3.3 Distribuci´ on uniforme continua 253

Proposici´on 3.4 Un intervalo de confianza para el par´ametro de la
distribuci´on unif p0, θq est´a dado por

2 1{n X 2 1{n X
pnq pnq
Pp ă θ ă q“ 1 ´ α.
p2 ´ αq 1{n α 1{n

Segundo caso

Consideremos ahora la distribuci´on unif pc, θq con c conocido y θ descono-
cido. Encontraremos un intervalo de confianza para θ.Sea X ,...,X una
1
n
muestra aleatoria de esta distribuci´on. Entonces X ´ c, . . . , X ´ c es una
1
n
muestra aleatoria de la distribuci´on unif p0, θ ´ cq yestamos nuevamente en
la situaci´on del caso estudiado antes. Puede comprobarse que la estad´ıstica
X ´c es suficiente para θ ´c yelcociente pX ´cq{pθ ´cq tiene funci´on
pnq pnq
de densidad
#
nx n´1 si 0 ă x ă 1,
fpxq“
0 en otro caso.

Entonces, dado un valor de α Pp0, 1q, se pueden encontrar dos cantidades
a y b tales que 0 ă a ă b ă 1 con

X ´ c
pnq
Pp ă a q“ α{2,
θ ´ c
X ´ c
pnq
Pp ą b q“ α{2.
θ ´ c

Esta situaci´on corresponde nuevamente a la que se muestra en la Figura 3.3,
1{n 1{n
en donde a “pα{2q y b “p1 ´ α{2q . El intervalo encontrado no tiene
longitud m´ınima, sin embargo, tenemos que

X ´ c
1{n pnq 1{n
Pppα{2q ă ă p1 ´ α{2q q“ 1 ´ α,
θ ´ c

de donde se obtiene el siguiente resultado.