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250 3. Estimaci´ on por intervalos

lo tanto, es un intervalo sim´etrico y su longitud total es la variable aleatoria
a ?
¯
¯
L “ 2z α{2 Xp1 ´ Xq{ n.
Segunda soluci´on

Otra alternativa para desprender de manera aproximada el par´ametro θ en
la ecuaci´on (3.2) es usar la desigualdad θp1 ´ θq ď 1{4 para el denominador
que aparece en esa ecuaci´on. Esta desigualdad produce la siguiente cota
superior
1
a
θp1 ´ θq{n ď ? .
2 n
Utilizando esto en las dos desigualdades de (3.2) se obtiene

z α{2 a a z α{2
¯
´ ? ă ´z θp1 ´ θq{n ă X ´ θ ă z θp1 ´ θq{n ă ? .
2 n α{2 α{2 2 n

En consecuencia, tenemos el siguiente intervalo aproximado.

Proposici´on 3.2 Un intervalo de confianza aproximado para el

par´ametro de la distribuci´on Berpθq est´adado por

z α{2 z α{2
¯
¯
Pp X ´ ? ă θ ă X ` ? q« 1 ´ α.
2 n 2 n

?
Observemos que la longitud de este intervalo es no aleatoria L “ z α{2 { n,y
que esta cantidad crece conforme la confianza 1 ´ α se acerca a 1, y decrece

conforme el tama˜no de la muestra crece.

Tercera soluci´on

Como una tercera alternativa para producir una cantidad pivotal de la
ecuaci´on (3.2), observemos que el evento en cuesti´on puede escribirse co-
¯
mo p|X ´ θ| ă z α{2 a θp1 ´ θq{nq.Elevando al cuadrado y desarrollando se
llega a la desigualdad

¯
¯
2
2
θ p1 ` z 2 {nq` θp´2X ´ z 2 {nq` X ă 0.
α{2 α{2