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3.2 Distribuci´ on Bernoulli 249

φpxq

1 ´ α

α{2 α{2
x
´z α{2 z α{2

Figura 3.2

El problema aqu´ı es encontrar θ a partir de las dos desigualdades que apare-
cen en (3.2). Presentamos a continuaci´on tres formas en que tal tarea puede
llevarse a cabo de manera aproximada.

Primera soluci´on

Una simplificaci´on al problema planteado consiste en substituir el deno-
¯
¯
minador θp1 ´ θq{n por la estimaci´on puntual Xp1 ´ Xq{n.Es necesario
admitir que esta substituci´on es un tanto burda, pero como resultado se
obtendr´a una cantidad pivotal a partir de la cual se producir´aconfacilidad

una aproximaci´on al intervalo buscado. Tenemos entonces la expresi´on
¯
X ´ θ
Pp´z α{2 ă a ă z α{2 q« 1 ´ α.
¯
¯
Xp1 ´ Xq{n
Resolviendo las dos desigualdades para θ se obtiene el siguiente resultado.

Proposici´on 3.1 Un intervalo de confianza aproximado para el
par´ametro de la distribuci´on Berpθq est´adado por

z b z b
¯ α{2 ¯ ¯ ¯ α{2 ¯ ¯
Pp X ´ ? Xp1 ´ Xq ă θ ă X ` ? Xp1 ´ Xqq « 1 ´ α.
n n

Observemos que este intervalo aleatorio tiene como centro la media muestral
y se extiende a la derecha y a la izquierda la misma cantidad aleatoria. Por