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248 3. Estimaci´ on por intervalos

Despu´es, a partir de esta expresi´on, se debe buscar desprender el t´ermino
θ del evento determinado por las desigualdades y encontrar una expresi´on

de la forma (3.1). A la funci´on qpX ,...,X , θq se le llama cantidad pivotal
1
n
pues de ella se busca obtener el t´ermino θ.

En las siguientes secciones estudiaremos formas de encontrar intervalos de
confianza para los par´ametros de algunas distribuciones de probabilidad
conocidas. Usaremos principalmente el m´etodo pivotal. En general, el pro-
blema de encontrar intervalos de confianza para alg´un par´ametro o funci´on
parametral de una distribuci´on dada no es sencillo.

3.2. Distribuci´on Bernoulli

Supongamos que una cierta variable aleatoria de inter´es tiene distribuci´on
Berpθq, en donde el par´ametro θ es desconocido. Deseamos estimar este
par´ametro mediante un intervalo de confianza. Sea X ,...,X una muestra
n
1
aleatoria de esta distribuci´on. Haremos uso del hecho de que un estimador
¯
¯
¯
puntual para θ es X,endonde EpXq“ θ y VarpXq“ θp1 ´ θq{n. Por el
teorema central del l´ımite, de manera aproximada,
¯
X ´ θ
„ Np0, 1q.
a
θp1 ´ θq{n
En tablas de probabilidades de la distribuci´on normal se pueden encontrar
dos valores a y b tales que la probabilidad de que esta variable aleatoria tome
un valor entre a y b sea igual a 1 ´ α.Como es deseable que la longituddel

intervalo pa, bq sea la m´as peque˜na posible y como la distribuci´on normal
est´andar es sim´etrica alrededor del origen, resulta que el intervalo pa, bq de
longitud m´ınima debe ser tambi´en sim´etrico alrededor del origen. As´ı, puede
encontrarse un valor positivo, que denotaremos por z α{2 ,talquese cumple
lo siguiente:

¯
X ´ θ
Pp´z α{2 ă a ă z α{2 q« 1 ´ α. (3.2)
θp1 ´ θq{n

V´ease la Figura 3.2 y observe que el intervalo indicado es el de longitud m´as
peque˜na que cumple (3.2).