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3.1 Definiciones 247

de confianza contendr´an el valor del par´ametro y algunas realizaciones no lo
contendr´an. Usando la interpretaci´on frecuentista de la probabilidad, pode-

mos afirmar que en un gran n´umero de realizaciones del intervalo aleatorio,
el p1 ´ αq100 % de la veces el intervalo contendr´aelvalordelpar´ametro a
estimar.

Observe adem´as que no es correcto decir “la probabilidad de que θ perte-
ˆ ˆ
nezca al intervalo pθ , θ q es 1 ´ α”, pues, en nuestra perspectiva cl´asica, el
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par´ametro θ no es un elemento aleatorio. En cambio, se dice “la probabi-
ˆ ˆ
lidad de que el intervalo pθ , θ q contenga el valor de θ es 1 ´ α”. De esta
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forma se entiende que θ es constante, aunque desconocido, y el intervalo es el
que cambia dependiendo de la muestra aleatoria. Naturalmente el problema
fundamental es el siguiente:

ˆ
ˆ
¿C´omo encontrar θ y θ de tal forma que la igualdad (3.1) se cumpla?
1
2

Este problema no es f´acil de resolver. En muchas ocasiones s´olo se pueden
ˆ
encontrar intervalos de confianza aproximados, es decir, las estad´ısticas θ 1
ˆ
y θ que se encuentran son tales que la igualdad (3.1) se cumple s´olo de
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manera aproximada. En los ejemplos que estudiaremos se observar´aadem´as
que los extremos del intervalo de confianza no se encuentran por separado
sino de manera paralela.

El as´ı llamado m´etodo pivotal es una manera general de resolver el problema
planteado, aunque presupone poder encontrar una variable aleatoria con

ciertas caracter´ısticas. Explicaremos a continuaci´on este m´etodo.

M´etodo pivotal

Este m´etodo supone poder encontrar una funci´on de la muestra y del par´ame-
tro desconocido, denot´emosla por qpX ,...,X , θq,condistribuci´on de pro-
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babilidad completamente conocida (no dependiente de θ), de tal manera que
puedan determinarse dos n´umeros a ă b tales que

Ppa ă qpX ,...,X , θq ă bq“ 1 ´ α.
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