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238 2. Estimaci´ on puntual

2.19. Distribuciones tipo exponencial

En esta secci´on se define una colecci´on amplia de distribuciones de pro-

babilidad llamada familia exponencial. Esta familia agrupa a varias de las
distribuciones de probabilidad discretas y continuas m´as conocidas, todas
ellas compartiendo una misma forma para la funci´on de densidad o de pro-
babilidad. Se considera primero el caso cuando s´olo hay un par´ametro in-
volucrado, y despu´es cuando la distribuci´on depende de varios par´ametros.
Aqu´ıtenemos ladefinici´on en el primer caso.

Definici´on 2.30 Una distribuci´on dependiente de un par´ametro θ es
de tipo exponencial si su funci´on de probabilidad o de densidad, es de
la forma

fpx, θq“ apθq bpxq e cpθq dpxq , ´8 ă x ă 8, (2.18)

en donde apθq ě 0, bpxq ě 0, cpθq y dpxq son funciones reales que depen-
den ´unicamente de los argumentos indicados.

Como hemos se˜nalado, la familia de distribuciones tipo exponencial incluye
distribuciones tipo discreto y continuo. La expresi´on de la f´ormula (2.18)
justifica el t´ermino exponencial en el nombre de esta familia de distribucio-
nes. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos de distribuciones
particulares que pertenecen a la familia exponencial.

Por brevedad en las expresiones que aparecen en la tabla, no hemos escrito

la forma completa de la funci´on bpxq en cada caso. Por ejemplo, para la
distribuci´on Bernoulli se debe escribir bpxq“ 1¨1 pxq,mientrasque para
` ˘ t0,1u
n
la distribuci´on binomial bpxq“ ¨ 1 pxq,indicandoas´ı el soporte
x t0,1,...,ku
de la distribuci´on.