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234 2. Estimaci´ on puntual

j)Demuestre que U es una estad´ıstica completa.

k)¿Qu´e puede decir ahora de EpT | Uq?

261. Distribuci´on Poisson(θ): UMVUE para θ e ´θ .
Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on Poissonpθq,
1
n
con θ ą 0desconocido. Nos interesaestimar lafunci´on parametral
τpθq“ θ e ´θ .Sabemos quela estad´ıstica U “ X `¨ ¨ ¨`X es suficiente
n
1
ycompleta para θ.Defina el estimador

T “ 1 pX q.
t1u 1

Demuestre los siguientes resultados que llevan a encontrar el UMVUE
para τpθq.Severifica quela varianza delUMVUE alcanza la cota
inferior de Cram´er-Rao.

a) T es insesgado para τpθq.

b) VarpTq“ θ e ´θ p1 ´ θ e ´θ q.
˘ ¯
` nX´1
n´1 ¯
c) EpT | Uq“ X.Estees el UMVUEpara τpθq.
n
2
d) VarpEpT | Uqq “ e ´2θ`θ{n θ p1 `pn ´ 1q 2 θ q´ e ´2θ θ .
n n
2
θp1 ´ θq
e)CICRpθq“ e ´2θ ,para τpθq“ θ e ´θ .
n
f )CICRpθq ď VarpEpT | Uqq ď VarpTq.

262. Distribuci´on exppθq:UMVUEpara θ.
Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on exppθq,con
1
n
θ ą 0desconocido.Sabemosquela estad´ıstica T “ X `¨ ¨ ¨ ` X es
n
1
suficiente y completa para θ.
a)Demuestre que la estad´ıstica pn´1q{T es un estimador insesgado
para θ.
b)Concluya que pn ´ 1q{T es el UMVUE para θ.

c) Calcule la varianza del UMVUE encontrado en el inciso anterior
ycomparecon la cota inferiordeCram´er-Rao.

2
263. Distribuci´on Npθ, σ q:UMVUE para θ.
2
Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on Npθ, σ q, con
1
n