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2.18 Teorema de Lehmann-Scheff´ e 233

e)CICRpθq“ θ{n.

f )CICRpθq“ VarpEpT | Uqq ď VarpTq.

260. Distribuci´on Poissonpθq:UMVUEpara τpθq“ e ´θ .
Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on Poissonpθq,
1
n
con θ ą 0desconocido.
a)Demuestre que la estad´ıstica T “ 1 pX q es un estimador in-
t0u 1
sesgado para la funci´on parametral τpθq“ e ´θ .
b)Demuestre que la estad´ıstica U “ X `¨ ¨ ¨`X es suficiente para
1
n
θ.
c)Demuestre que U es una estad´ıstica suficiente minimal para θ.

d)El procedimiento de Rao-Blackwell sugiere encontrar EpT | Uq.
Demuestre que
ˆ ˙ U
n ´ 1
EpT | Uq“ .
n

e) Demuestre que VarpTq“ e ´θ p1 ´ e ´θ q.
f )Recuerde que si X es una variable aleatoria con distribuci´on

Poissonpθq,entoncessuf.g.p.est´a dada por

X
Gptq“ Ept q“ e θpt´1q .

Use la expresi´on anterior para demostrar que

VarpEpT | Uqq “ e ´2θ pe θ{n ´ 1q.

g)Demuestre que para la funci´on parametral τpθq“ e ´θ ,

θ ´2θ
CICRpθq“ e .
n

h)Demuestre que

CICRpθq ă VarpEpT | Uqq ď VarpTq.

i) Con ´unicamente la informaci´on anterior, ¿qu´epuede decir de
EpT | Uq?