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2.19 Distribuciones tipo exponencial 243

Por la propiedad de unicidad de la transformada de Laplace, esta integral
es cero si, y s´olo si, la funci´on que es factor de la exponencial es cero, es
ř n
decir, hp dpx qq “ 0c.s. En elcasocuando lafunci´on dpxq no es la
i
i“1
identidad se hace un cambio de variable u “ dpxq y se obtiene nuevamente
una transformada de Laplace pero esta vez respecto de una medida que no
es necesariamente la de Lebesgue. Nuevamente, la propiedad de unicidad de
la transformada de Laplace produce nuevamente el resultado buscado. ‚

La teor´ıa matem´atica de la transformada de Laplace multidimensional puede

consultarse en [4]. Por otro lado, la propiedad se suficiencia, sin la minima-
lidad, se puede demostrar directamente de la definici´on, o bien mediante el
teorema de factorizaci´on. Se deja verificar esta afirmaci´on como un ejercicio.
Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 2.62

a) En el caso Berpθq,tenemosque dpxq“ x.Por lo tanto, la estad´ıstica
T “ X `¨ ¨ ¨ ` X es suficiente minimal y completa para θ.
n
1
2
b) En el caso Npθ , θ q,tenemosque d pxq“ x y d pxq“ x .Por lo tanto,
2
1
2
1
2
2
la estad´ıstica T “pX `¨ ¨ ¨ ` X ,X `¨ ¨ ¨ ` X q es suficiente minimal
1
n
n
1
ycompleta para pθ , θ q.
1
2
‚
Ejercicios
270. Demuestre la propiedad de suficiencia de la estad´ıstica que aparece en
la Proposici´on 2.11 usando

a)La definici´on.

b)El teorema de factorizaci´on de Neyman.