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2.18 Teorema de Lehmann-Scheff´ e 237

f )Compruebe que CICRpθq ď VarpEpT | Uqq ď VarpTq.

267. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on fpx, θq que se
1
n
especifica abajo, en donde θ ą 0es desconocido.
#
e ´px´θq si x ą θ,
fpx, θq“
0 en otro caso.

a)Demuestre que la estad´ıstica X ´ 1{n es suficiente, completa e
p1q
insesgada para θ.

b)Encuentre el UMVUE para θ.

268. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on fpx, θq que se
n
1
especifica abajo, en donde θ ą 0esunpar´ametro desconocido. Por el
ř n
ejercicio 147, sabemos que la estad´ıstica T “ ´pn ´ 1q{ ln X es
i
i“1
un estimador insesgado para θ.
#
θx θ´1 si 0 ă x ă 1,
fpx, θq“
0 en otro caso.

1{n
a)Demuestre que la media geom´etrica U “pX ¨¨¨ X q es una
n
1
estad´ıstica suficiente y completa para θ.
b)Encuentre el UMVUE para θ.

269. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on fpx, θq que se
n
1
especifica abajo, en donde θ ą 0esunpar´ametro desconocido.

#
2
θ xe ´θx si x ą 0,
fpx, θq“
0 en otro caso.

a)Demuestre que la estad´ıstica T “ X `¨ ¨ ¨` X es suficiente y
n
1
completa para θ.
b) Calcule Ep1{Tq.

c)Encuentre una funci´on de T que sea insesgada para θ.Useel
teorema de Lehmann-Scheff´epara concluir que esta funci´on es el
UMVUE para θ.