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2.19 Distribuciones tipo exponencial 239

Algunas distribuciones tipo exponencial de un par´ametro

Distribuci´on apθq bpxq cpθq dpxq

Berpθq 1 ´ θ 1 ln θ x
1´θ
` ˘
k k θ
binpk, θq p1 ´ θq ln x
x 1´θ
Poissonpθq e ´θ 1 ln θ x
x!
geopθq θ 1 ln p1 ´ θq x

θ k ` k`x´1 ˘
bin negpk, θq p q ln p1 ´ θq k ` x
1´θ k´1
2
2
2 1 ´θ {2σ 2 1 ´x {2σ 2 θ
Npθ, σ q ? e e 2 x
2π σ σ
2
1 ´µ {2θ 2 1 1 1 2
Npµ, θq e ? 2 ´ px ´ µq
θ 2π θ 2
λ θ 1 ´λx
gamapθ, λq e θ ln x
Γpθq x
θ γ γ´1
gamapγ, θq x ´θ x
Γpγq

Tabla 2.10

Observemos que en la tabla aparecen distribuciones que dependen de dos
par´ametros. En estos casos se considera que la distribuci´on depende del
par´ametro θ,entendiendo que el segundo par´ametro, indicado con otra letra,
es constante y conocido. Substituyendo las expresiones mostradas en la tabla
para las funciones apθq, bpxq, cpθq y dpxq puede comprobarse en cada caso
que se obtiene la funci´on de probabilidad o de densidad correspondiente.

Ejemplo 2.60 Es interesante observar que la representaci´on (2.18) no es
´ unica para todas las distribuciones dentro de esta familia. Por ejemplo, para
la distribuci´on geom´etrica, para cada valor k “ 0, 1,... las expresiones que