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2.18 Teorema de Lehmann-Scheff´ e 235
2
θ desconocido y σ conocido. Nos interesa estimar el par´ametro θ.
Sabemos que la estad´ıstica U “ X `¨ ¨ ¨`X es suficiente y completa
1
n
para θ.Defina elestimador
T “ X .
1
Demuestre las siguientes afirmaciones:
a) T es insesgado para θ.
2
b) VarpTq“ σ .
¯
c) EpT | Uq“ X.
2
d) VarpEpT | Uqq “ σ {n.
2
e)CICRpθq“ σ {n.(constante)
f )CICRpθq“ VarpEpT | Uqq ď VarpTq.
Por el Teorema de Lehmann-Scheff´e, se concluye que EpT | Uq es el
UMVUE para θ.Adem´as su varianza alcanza la cota inferior de Cram´er-
Rao.
2
2
264. Distribuci´on Npθ, σ q:UMVUE para θ .
2
Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on Npθ, σ q, con θ
n
1
2
desconocido y σ conocido. Nos interesa estimar la funci´on parametral
2
τpθq“ θ .Sabemos quelaestad´ıstica U “ X `¨ ¨ ¨ ` X es suficiente
n
1
ycompleta para θ.Defina el estimador
2
2
T “ X ´ σ .
1
2
a)Demuestre que T es insesgado para θ .
b) Calcule VarpTq.
c) Calcule EpT | Uq.
d) Calcule VarpEpT | Uqq.
2
e)Calcule CICRpθq para τpθq“ θ .
f )Compruebe que CICRpθq ď VarpEpT | Uqq ď VarpTq.
2
Se concluye que EpT | Uq es el UMVUE para θ ,pues esinsesgado y
su varianza alcanza la cota inferior de Cram´er-Rao.
