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236 2. Estimaci´ on puntual
2
265. Distribuci´on Npθ, σ q:UMVUE para PpX ą aq.
1
2
Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on Npθ, σ q, con
1
n
2
θ desconocido y σ conocido. Sea a una constante cualquiera. Nos
interesa estimar la funci´on parametral τpθq“ PpX ą aq.Sabemos
1
que la estad´ıstica U “ X `¨ ¨ ¨ ` X es suficiente y completa para θ.
1
n
Defina el estimador
T “ 1 pX q.
pa,8q 1
Demuestre los siguientes resultados que llevan a encontrar el UMVUE
para PpX ą aq.Severifica que la varianza delUMVUEalcanza la
1
cota inferior de Cram´er-Rao.
a)Demuestre que T es insesgado para τpθq“ PpX ą aq.
1
b) Calcule VarpTq.
c) Calcule EpT | Uq.Este esel UMVUEpara τpθq“ PpX ą aq.
1
d) Calcule VarpEpT | Uqq.
e)Calcule CICRpθq.
f )Compruebe que CICRpθq ď VarpEpT | Uqq ď VarpTq.
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266. Distribuci´on Npθ, σ q:UMVUE para Pp|X | ď aq.
1
2
Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on Npθ, σ q, con
1
n
2
θ desconocido y σ conocido. Sea a ą 0una constante. Nosinteresa
estimar la funci´on parametral τpθq“ Pp|X | ď aq.Sabemos que la
1
estad´ıstica U “ X `¨ ¨ ¨` X es suficiente y completa para θ. Defina
n
1
el estimador
T “ 1 p|X |q.
p0,aq 1
Demuestre los siguientes resultados que llevan a encontrar el UMVUE
para Pp|X | ď aq.Severifica que la varianza delUMVUEalcanza la
1
cota inferior de Cram´er-Rao.
a)Demuestre que T es insesgado para τpθq“ Pp|X | ď aq.
1
b) Calcule VarpTq.
c) Calcule EpT | Uq.Este esel UMVUEpara τpθq“ Pp|X | ď aq.
1
d) Calcule VarpEpT | Uqq.
e)Calcule CICRpθq.
