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2.19 Distribuciones tipo exponencial 241

Algunas distribuciones tipo exponencial de dos par´ametros

Distribuci´on apθ , θ q bpxq c pθ , θ q c pθ , θ q d pxq d pxq
1
1
1
2
2
2
1
2
2
1
θ 1
θ 2 1
gamapθ , θ q θ 1 ln x ´θ 2 x
2
1
Γpθ 1 q x
2
1 ´θ {2θ 2 θ 1 1 2
Npθ , θ q ? e 1 2 1 2 ´ 2 x x
2
1
2πθ 2 θ 2 2θ 2
2
Tabla 2.11
Es inmediato comprobar que substituyendo las expresiones de las funciones
a, b, c , c , d y d indicadas en la tabla se obtiene la correspondiente funci´on
2
1
1
2
de densidad. En particular, las distribuciones gama y normal pertenecen a la
familia exponencial considerando un par´ametro a la vez, o ambos par´ametros
al mismo tiempo. Nuevamente, por brevedad, hemos omitido la expresi´on
completa para bpxq.Tal funci´on debe especificar el soporte de la distribuci´on.

Ejemplo 2.61 La distribuci´on bin negpk, pq no pertenece a la familia ex-
ponencial biparam´etrica. ‚

En el siguiente resultado se muestra expl´ıcitamente la existencia de una
estad´ıstica suficiente, minimal y completa para el vector de par´ametros de
toda distribuci´on dentro de la familia exponencial. La propiedad de com-
pletez es m´as complicada de demostrar y ´unicamente indicaremos algunas
ideas generales de la prueba.