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242 2. Estimaci´ on puntual

Proposici´on 2.11 Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una distri-
1
n
buci´on tipo exponencial dependiente del par´ametro θ “pθ ,..., θ q.El
1
'
vector de estad´ısticas T especificado abajo es una estad´ıstica suficiente
minimal y completa para θ.

n n
ÿ ÿ
T “p d pX q,..., d pX qq
k
i
i
1
i“1 i“1
Demostraci´on.
Suficiencia minimal. Sean px ,...,x q y py ,...,y q dos posibles valores de
1
1
n
n
la muestra aleatoria, no necesariamente distintos. Entonces
˜ ¸
n ” n n ı
fpx ,...,x , θq ź bpx q ÿ ÿ
n
i
1
“ exp cpθqp dpx q´ dpy qq
i
i
fpy ,...,y , θq bpy q
n
i
1
i“1 i“1 i“1
˜ ¸
n
bpx q
ź ” ı
i
“ exp cpθqpTpx ,...,x q´ Tpy ,...,y qq .
n
1
n
1
bpy q
i
i“1
Esta cantidad no depende θ si y s´olo si el exponente es nulo para cualquier
valor de θ. Esto lleva a la condici´on Tpx ,...,x q“ Tpy ,...,y q.Por el
1
n
1
n
Teorema 2.6 concluimos que T es suficiente minimal para θ.
Completez. Sea h una funci´on tal que ErhpTqs “ 0. Entonces
0 “ EphpTqq
ż n
ÿ
“ hp dpx qq fpx ,...,x q dx ¨¨¨ dx n
n
1
i
1
R n i“1
ż n n ” n ı
ÿ ź ÿ
n
“ hp dpx qq papθqq p bpx qq exp cpθq dpx q dx ¨¨¨ dx .
1
i
i
n
i
R n i“1 i“1 i“1
n
El factor papθqq puede colocarse fuera de la integral y, dado que la integral
es nula, este factor puede omitirse. Ahora consideraremos un caso particular
de esta integral. Tomando el caso particular dpxq“ x,la integral resultante
corresponde a la transformada de Laplace bilateral respecto de la medida
n
de Lebesgue, de dimensi´on n,y evaluadaenelpunto pcpθq,...,cpθqq de R .