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232 2. Estimaci´ on puntual
c)Use el teorema de Lehmann-Scheff´epara encontrar el UMVUE
para τpθq.
258. Distribuci´on geo(θ): UMVUE para θ.
Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on geopθq, con
n
1
θ desconocido. Nos interesa estimar el par´ametro θ.Sabemos quela
estad´ıstica U “ X `¨ ¨ ¨`X es suficiente y completa para θ. Considere
n
1
el estimador
1
T “ n ¯ .
1 ` X
n´1
Demuestre los siguientes resultados que llevan a encontrar el UMVUE
para θ.Severifica que lavarianza del UMVUEalcanzala cotainferior
de Cram´er-Rao.
a)Demuestre que T es insesgado para θ.
b) Calcule VarpTq.
c) Calcule EpT | Uq.Este esel UMVUEpara θ.
d) Calcule VarpEpT | Uqq.
e)Calcule CICRpθq.
f )Demuestre que CICRpθq“ VarpEpT | Uqq ď VarpTq.
259. Distribuci´on Poisson(θ): UMVUE para θ.
Sea X ,...,X una muestra aleatoria de tama˜no n ě 2 de la distri-
n
1
buci´on Poissonpθq, con θ ą 0desconocido.Sabemosque la estad´ıstica
U “ X `¨ ¨ ¨` X es suficiente y completa para θ.Definaahora el
n
1
estimador
1
T “ pX ` X q.
1
2
2
Demuestre los siguientes resultados que llevan a encontrar el UMVUE
para θ.Severifica que lavarianza del UMVUEalcanzala cotainferior
de Cram´er-Rao.
a) T es insesgado para θ.
b) VarpTq“ θ{2.
¯
c) EpT | Uq“ X.Estees el UMVUE para θ.
d) VarpEpT | Uqq “ θ{n.
