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2.18 Teorema de Lehmann-Scheff´ e 231

Del resultado general anterior se desprenden los siguientes casos particulares
que permiten encontrar el UMVUE para una funci´on parametral τpθq.

Corolario 2.2 Sea U una estad´ıstica suficiente y completa para θ.Si
la funci´on gpUq es un estimador insesgado para τpθq,entonces gpUq es
el UMVUE para τpθq.

Demostraci´on. Como EpgpUq| Uq“ gpUq c.s., se sigue del teorema de
Lehmann-Scheff´eque gpUq es el UMVUE para θ. ‚

Corolario 2.3 Si T es un estimador insesgado para τpθq, y suficiente y
completo para θ,entonces T es el UMVUE para τpθq.

Demostraci´on. Como T es una estad´ıstica suficiente y completa tambi´en
para τpθq, la identidad EpT | Tq“ T c.s. y el teorema de Lehmann-Scheff´e
aseguran que T es el UMVUE para τpθq. ‚

¯
Por ejemplo, hemos comprobado antes que la estad´ıstica X es un estimador
insesgado para el par´ametro de la distribuci´on Berpθq.Puedecomprobarse
¯
¯
que X es tambi´en suficiente y completa para θ.Por lo tanto, X es el UMVUE
para θ.

Ejercicios

2
257. Distribuci´on Berpθq:UMVUE para τpθq“ θ `p1 ´ θqe .
Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on Berpθq, con θ
1
n
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desconocido. Defina la funci´on parametral τpθq“ θ `p1 ´ θqe .
a)Encuentre un estimador insesgado T para τpθq ycompruebeque
lo es.

b) Considere la estad´ıstica suficiente y completa U “ X `¨ ¨ ¨`X .
n
1
Para cada valor u de U, calcule EpT | U “ uq.