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230 2. Estimaci´ on puntual

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Teorema 2.9 (Lehmann-Scheff´e ) Sea T un estimador insesgado pa-
ra una funci´on parametral unidimensional τpθq.Sea U una estad´ıstica
suficiente y completa para θ.Entonces EpT | Uq es

1. El ´unico estimador que satisface ser funci´on de U yser insesgado
para τpθq.

2. El UMVUE para τpθq,es decir, tiene varianza m´ınima de entre

todos los estimadores insesgados para τpθq.

Demostraci´on.

1. Veamos primero la unicidad. Hemos demostrado antes que la esperan-
za condicional EpT | Uq es una estad´ıstica que es funci´on de U yes
insesgado para τpθq. Supongamos que W es otro estimador para τpθq
con estas dos caracter´ısticas. Defina la funci´on hpUq“ W ´ EpT | Uq.
Entonces

EphpUqq “ EpWq´ EpEpT | Uqq “ τpθq´ τpθq“ 0.

Como U es completa, hpUq“ 0c.s.Es decir, W “ EpT | Uq c.s. De
esta manera, la hip´otesis de completez para U lleva a concluir que
EpT | Uq es el ´unico estimador insesgado que es funci´ on de U.

2. Sea W cualquier estimador insesgado para τpθq sin solicitar necesa-

riamente que sea funci´on de U.Consideremos el estimador EpW | Uq,
el cual es insesgado y es funci´on de U.Por la propiedad deunicidad,
tenemos que este estimador es id´entico a EpT | Uq. Por el teorema de
Rao-Blackwell,

VarpWq ě VarpEpW | Uqq “ VarpEpT | Uqq.

‚

6 Erich Leo Lehmann (1917-2009), estad´ıstico estadounidense.
6
Henry Scheff´e (1907-1977), matem´atico y estad´ıstico estadounidense.