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2.18 Teorema de Lehmann-Scheff´ e 229

253. Distribuci´on uniforme. Sea T “|X |, en donde X es una muestra
1
1
aleatoria de tama˜no n “ 1de ladistribuci´on unifp´θ, θq,con θ ą 0.
Determine si T es una estad´ıstica completa.

254. Distribuci´on Poisson. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la
n
1
distribuci´on Poissonpθq con θ ą 0. Demuestre que la estad´ıstica

a) T “ X `¨ ¨ ¨` X es completa, 1 ď k ď n.
k
1
b) T “pX ,...,X q no es completa, 2 ď k ď n.
k
1
255. No completez. Sea fpx, θq la funci´on de densidad de la distribu-
ci´on unifp´θ, θq, con θ ą 0. Demuestre que la familia de densidades
tfpx, θq :0 ă θ ă 8u no es completa.

256. No completez. Sea fpx, θq la funci´on de densidad de la distribuci´on
Np0, θq, con θ ą 0. Demuestre que la familia de densidades tfpx, θq :
θ ą 0u no es completa.

2.18. Teorema de Lehmann-Scheff´e

En esta secci´on se presenta un resultado importante que permite construir
estimadores insesgados de varianza m´ınima cuando se cumplen ciertas con-
diciones.

Sabemos que bajo las condiciones de regularidad, cualquier estimador in-
sesgado para una funci´on parametral tiene varianza por lo menos la cota
inferior de Cram´er-Rao. Recordemos que, tanto la varianza del estimador
como la cota inferior de Cram´er-Rao son funciones del par´ametro descono-
cido θ.Aaquelestimador insesgadocuyavarianza sea lam´as peque˜na para
cada valor de θ le hemos llamado estimador insesgado de varianza m´ınima

uniforme (en ingl´es uniformly minimum variance unbiased estimator), y por
brevedad se le llama UMVUE. El calificativo de uniforme se refiere a que
la minimalidad de su varianza se cumple para todo valor de θ en el espacio
parametral Θ.Elsiguienteresultado establece la forma deencontrareste
estimador.