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228 2. Estimaci´ on puntual

Demostraremos a continuaci´on que la propiedad de completez permanece
invariante bajo transformaciones biyectivas.

Teorema 2.8 Toda funci´on biyectiva de una estad´ıstica completa tam-
bi´en es completa.

Demostraci´on. Sea T una estad´ıstica completa y sea ϕ una funci´on
biyectiva tal que ϕpTq es una variable aleatoria con esperanza finita. Sea
h una funci´on tal que EphpϕpTqqq “ 0, es decir, Epph ˝ ϕqpTqq “ 0. La
completez de T implica que ph ˝ ϕqpTq“ 0c.s., esdecir, hpϕpTqq “ 0c.s.
Esto demuestra la completez de ϕpTq. El mismo argumento se aplica cuando
T es un vector de estad´ısticas. ‚

Para concluir esta secci´on mencionaremos que en la secci´on 2.19 se enuncia
un ejemplo general de la propiedad de completez para una cierta estad´ıstica
para distribuciones dentro de la familia exponencial.

Ejercicios

251. Sea a una constante. Demuestre que una estad´ıstica T es completa si
ys´olo si

a) T ` a es completa.
b) aT es completa, a ‰ 0.

252. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on especifica-
n
1
da abajo, dependiente del par´ametro θ. Suponga que cualquier otro
par´ametro que pudiera aparecer en la distribuci´on tiene un valor fijo
conocido. Demuestre directamente que la estad´ıstica T “ X `¨ ¨ ¨`X n
1
es completa.

2
a)binpk, θq. d)Npθ, σ q.
b)Poissonpθq. e)gamapγ, θq.

c) geopθq.