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2.17 Completez 227

Esto implica que la integral se anula para cualquier θ ą 0. Derivando esta
integral respecto de θ y suponiendo continuidad para la funci´on h, se obtiene

que hpθq θ n´1 “ 0paracualquier θ ą 0. Esto se cumple cuando hpθq“ 0
para cualquier θ ą 0, es decir, hpTq“ 0. Esto demuestra que la estad´ıstica
T
T,o la familia de funciones de densidad t f pt, θq : θ ą 0 u,es completa. ‚
Observemos que para demostrar la no completez de una estad´ıstica T es

suficiente dar una funci´on h que no sea id´enticamente cero en el conjunto
de valores de T ytal que ErhpTqs “ 0. Veremos a continuaci´on un ejemplo
de esta situaci´on.

Ejemplo 2.59 Supongamos que una estad´ıstica T tiene funci´on de densi-
dad fpt, θq dada por la distribuci´on Np0, θq,esdecir,

1 ´t {2θ
2
fpt, θq“ ? e , ´8 ă t ă 8,
2πθ
en donde el par´ametro θ ą 0esla varianza de la distribuci´on y la media es
cero. Entonces es f´acil comprobar que T,o la familia de densidades t fpt, θq :
θ ą 0 u, no es completa pues para la funci´on hptq“ t se cumple la condici´on

ż
8
hptq fpt, θq dt “ 0.
´8
y sin embargo, hptq no es id´enticamente cero. ‚

Es interesante observar que la propiedad de completez de una estad´ıstica de-
pende fuertemente del espacio parametral Θ que se considere como conjunto
de posibles valores para θ.Enefecto,la implicaci´on (2.17) que aparece en la
Definici´on 2.29 debe cumplirse para todo valor de θ en Θ.Sieste conjunto
se reduce la completez puede perderse.

La definici´on de completez para una estad´ıstica T es tambi´en v´alida para

un vector de estad´ısticas T “pT ,...,T q.En estecaso la funci´on real h
1
k
k
que se utiliza debe tener como dominio un subconjunto de R .
Como en el caso unidimensional, se pueden dar ejemplos de vectores de es-
tad´ısticas que no satisfacen la propiedad de completez.