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226 2. Estimaci´ on puntual

binpn, θq,tenemos que

n ˆ ˙
ÿ n t n´t
EphpTqq “ hptq θ p1 ´ θq
t
t“0
n ˆ ˙ˆ ˙ t
ÿ n θ
n
“p1 ´ θq hptq .
t 1 ´ θ
t“0
La ´ultima suma corresponde a un polinomio en la variable α “ θ{p1 ´ θq.
Para que este polinomio en α sea cero para cualquier posible valor de α,

sus coeficientes deben ser todos forzosamente cero, esto es, para cada t “
` ˘
n
0, 1,...,n,se tiene que hptq “ 0. Esto implica que hptq“ 0paracada
t
t “ 0, 1,...,n,esdecir, hpTq“ 0. De esta manera hemos comprobado que la
estad´ıstica T,o la familia de distribuciones binomial t f pt, θq :0 ă θ ă 1 u,
T
es completa. ‚

Veamos otro ejemplo, esta vez cuando la distribuci´on de probabilidad invo-
lucrada es continua.

Ejemplo 2.58 Sea X ,...,X n una muestra aleatoria de la distribuci´on
1
unifp0, θq, con θ ą 0. Demostraremos que la estad´ıstica T “ m´ax tX ,...,X u
1
n
es completa. Observemos primero que T tiene como posibles valores el in-
tervalo p0, θq yrecordemosquesufunci´on de distribuci´on es la siguiente:
para 0 ă t ă θ,

F ptq“ Ppm´ax tX ,...,X u ď tq
n
1
T
n
“pPpX ď tqq
1
ˆ ˙ n
t
“ .
θ
Por lo tanto,
$
ˆ ˙ n´1
’ n t
& si 0 ă t ă θ,
f ptq“ θ θ
T
’
0 en otro caso.
%
Sea entonces h una funci´on cualquiera tal que EphpTqq “ 0. Para cualquier
valor θ ą 0,

θ θ
ż ˆ ˙ n´1 ż
n t n n´1
0 “ hptq dt “ n hptq t dt.
0 θ θ θ 0