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2.17 Completez 225

m´as adelante acerca de estimadores insesgados de varianza m´ınima.

Consideremos nuevamente que X ,...,X una muestra aleatoria de una
1
n
distribuci´on con funci´on de densidad o de probabilidad fpx, θq,dependiente
de un par´ametro θ.Supongamosque θ toma valores en un cierto espacio
parametral Θ.Sea T una estad´ıstica y sea f pt, θq su funci´on de densidad
T
ode probabilidad, que tambi´en depende, en general, de θ.Acontinuaci´on
definiremos la noci´on de completez para la familia de funciones de densidad
odeprobabilidad t f pt, θq : θ P Θ u.
T

Definici´on 2.29 Se dice que una estad´ıstica T,o su familia de funciones
de densidad o de probabilidad t f pt, θq : θ P Θ u,es completa si para
T
cualquier funci´on h se cumple la implicaci´on

EphpTqq “ 0 ñ hpTq“ 0c.s. (2.17)

Observe que, por simplicidad, no hemos especificado el dominio de la fun-

ci´on h,pero ´este debe contener al conjunto de valores de la estad´ıstica T,de
tal forma que la composici´on hpTq tiene sentido. Supondremos adem´as que
esta composici´on es tambi´en una variable aleatoria y que tiene esperanza

finita. Otra observaci´on importante es que, en general, la esperanza EphpTqq
depende del par´ametro desconocido θ, as´ıes que la condici´on EphpTqq “ 0
debe cumplirse para todo valor posible del par´ametro θ.

En la siguiente secci´on veremos la utilidad de la propiedad de completez de
una estad´ıstica cuando se conjunte con la propiedad de suficiencia. Estas
propiedades para una estad´ıstica aparecen como hip´otesis en el teorema de
Lehmann-Scheff´e. Regresando a la definici´on de completez, en general no
es f´acil comprobar su cumplimiento. El siguiente ejemplo, sin embargo, es
particularmente sencillo.

Ejemplo 2.57 Sea X ,...,X n una muestra aleatoria de la distribuci´on
1
Berpθq.Demostraremos que la estad´ıstica T “ X `¨ ¨ ¨`X es completa. Sea
n
1
h una funci´on cualquiera tal que EphpTqq “ 0. Como T tiene distribuci´on