Page 231 - EI2019.pdf

2.16 Teorema de Rao-Blackwell 223

EpT | U “ uq“ EpX p1 ´ X q| U “ uq
1
2
“ EpX | U “ uq´ EpX X | U “ uq
1
1
2
u
“ ´ 1 ¨ PpX “ 1,X “ 1 | U “ uq
2
1
n
u PpX “ 1,X “ 1,X `¨ ¨ ¨ ` X “ u ´ 2q
1
n
2
3
“ ´
n PpX `¨ ¨ ¨ ` X “ uq
n
1
ˆ ˙
n ´ 2
θ 2 θ u´2 p1 ´ θq n´u
u u ´ 2
“ ´ ` ˘
n
u
n θ p1 ´ θq n´u
u
ˆ ˙
n ´ 2
u u ´ 2
“ ´ ˆ ˙
n n
u
u upu ´ 1q
“ ´
n npn ´ 1q
n u u
“ p1 ´ q.
n ´ 1 n n
Como esta identidad se cumple para cualquier valor u Pt0, 1,...,nu,se
concluye que
n U U
EpT | Uq“ p1 ´ q.
n ´ 1 n n
Este es el estimador insesgado mejorado para τpθq“ θp1 ´ θq.Puede com-
probarse que
2
VarpTq“ θp1 ´ θqp1 ´ θ ` θ q.
Usando la f´ormula recursiva para los momentos de la distribuci´on binomial,
se puede demostrar tambi´en que

2
2θp1 ´ θqp1 ´ 3θ ` 3θ q
VarpEpT | Uqq “ .
npn ´ 1q

Aunque no es inmediato, se puede comprobar que VarpEpT | Uqq ď VarpTq.
Por ejemplo, para n “ 3, las gr´aficas de estas funciones de θ se muestran en
la Figura 2.14.