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222 2. Estimaci´ on puntual

VarpEpT | Uqq “ p1{nq VarpTq.Porlo tanto, se verifica la desigualdad

1
VarpEpT | Uqq “ VarpTq
n
ď VarpTq.

‚

Ahora veremos un ejemplo en donde el par´ametro a estimar es una funci´on
parametral. Los c´alculos se vuelven un poco m´as elaborados.

Ejemplo 2.56 Supongamos nuevamente que X ,...,X es una muestra
1
n
aleatoria de la distribuci´on Berpθq, con θ desconocido. Sea τpθq :“ θp1 ´ θq.
La estad´ıstica T :“ X p1 ´ X q es un estimador insesgado para la funci´on
2
1
parametral τpθq pues, por la hip´otesis de independencia,

EpTq“ EpX p1 ´ X qq
2
1
“ EpX q Ep1 ´ X q
1
2
“ θp1 ´ θq.

Sea U :“ X `¨ ¨ ¨` X .Sabemos que U es suficiente para θ ypor lo tanto
1
n
tambi´en lo es para τpθq. Encontraremos el estimador insesgado mejorado por
el procedimiento de Rao-Blackwell para τpθq usando el estimador insesgado
inicial T ylaestad´ıstica suficiente U. Sea u Pt0, 1,...,nu un posible valor
de U.Entonces