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2.16 Teorema de Rao-Blackwell 221

VarpTq“ σ 2

2
VarpEpT | Uqq “ σ {n

θ

Figura 2.13

‚

Ahora veremos una situaci´on general que incluye los dos ejemplos anteriores.

Ejemplo 2.55 Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una distribuci´on
1
n
dependiente de un par´ametro desconocido θ ytalquesu media es θ mismo.
Es claro que la estad´ıstica T :“ X es un estimador insesgado para θ,y
1
supongamos, por otro lado, que la estad´ıstica U :“ X `¨ ¨ ¨` X es sufi-
n
1
2
ciente para θ.LasdistribucionesBerpθq,Poissonpθq yNpθ, σ q son ejemplos
en donde se cumplen estas dos hip´otesis.

Encontraremos EpT | Uq. Para cualquier posible valor u de U,por la hip´ote-
sis de id´entica distribuci´on tenemos que

EpT | U “ uq“ EpX | X `¨ ¨ ¨ ` X “ uq
1
1
n
1
“ EpX `¨ ¨ ¨ ` X | X `¨ ¨ ¨ ` X “ uq
n
n
1
1
n
1
“ u.
n
¯
Esto demuestra que EpT | Uq“ U{n “ X.Este es el estimador inses-
gado mejorado por el procedimiento de Rao-Blackwell y su varianza es