Page 228 - EI2019.pdf
P. 228
220 2. Estimaci´ on puntual
cualquier valor t de T ycualquier valor u de U,
f T,U pt, uq
f T | U pt | uq“
f puq
U
f X 1 ,pX 1 `¨¨¨`X nq{n pt, uq
“
f puq
U
f X 1 ,X 1 `¨¨¨`X n pt, nuq
“
f puq
U
f X 1 ,X 2 `¨¨¨`X n pt, nu ´ tq
“
f puq
U
f ptq f pnu ´ tq
X 1 X 2 `¨¨¨`X n
“ .
f puq
U
Las tres funciones de densidad que aparecen en la ´ultima expresi´on son nor-
males con ciertos par´ametros. Substituyendo estas funciones y simplificando
2
se encuentra que esta funci´on de densidad es Npu, p1´1{nqσ q.Por lo tanto,
la esperanza de esta funci´on de densidad condicional es EpT | U “ uq“ u “
¯ x.Comoesta identidad se cumplepara cualquiervalor de u, se concluye que
¯
EpT | Uq“ X.
2
La varianza de esta variable aleatoria es VarpEpT | Uqq “ σ {n,constante
respecto de θ.Severifica entoncesla desigualdad
2
VarpEpT | Uqq “ σ {n
ď σ 2
“ VarpTq.
Las gr´aficas de estas varianzas, funciones constantes respecto de θ,semues-
tran en la Figura 2.13.
