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218 2. Estimaci´ on puntual

En lo que resta de esta secci´on daremos varios ejemplos de aplicaci´on de
este procedimiento, en donde el c´alculo de la esperanza condicional puede

efectuarse sin demasiada dificultad. Este no siempre es el caso.

Ejemplo 2.53 Sea X ,...,X n una muestra aleatoria de la distribuci´on
1
Berpθq, con θ desconocido. Es inmediato comprobar que la estad´ıstica T :“
X es un estimador insesgado para θ.Porotro lado, sabemos que U :“
1
X `¨ ¨ ¨` X es suficiente para θ.Elprocedimiento de Rao-Blackwellsu-
1
n
giere calcular EpT | Uq encontrando as´ı otro estimador insesgado para θ con
posiblemente una varianza m´as peque˜na.

Sea u Pt0, 1,...,nu un posible valor de U.Entonces, como T tiene distri-
buci´on Bernoulli,

EpT | U “ uq“ 1 ¨ PpT “ 1 | U “ uq` 0 ¨ PpT “ 0 | U “ uq

“ PpX “ 1 | X `¨ ¨ ¨ ` X “ uq
1
1
n
PpX “ 1q¨ PpX `¨ ¨ ¨ ` X “ u ´ 1q
1
n
2
“
PpX `¨ ¨ ¨ ` X “ uq
n
1
ˆ ˙
n ´ 1
θ ¨ θ u´1 p1 ´ θq pn´1q´pu´1q
u ´ 1
“ ˆ ˙
n
u
θ p1 ´ θq n´u
u
ˆ ˙
n ´ 1
u ´ 1
“ ˆ ˙
n
u
1
“ u.
n
Como lo anterior se cumple para cada valor u Pt0, 1,...,nu,se concluye

que

1
EpT | Uq“ U.
n