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2.16 Teorema de Rao-Blackwell 217

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y dos valores de la muestra aleatoria tales que Upx q“ Upy q.Entonces
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claramente EpT | U “ Upx qq “ EpT | U “ Upy qq.
Ahora podemos demostrar las ´ultimas dos afirmaciones de este teorema.

1. La propiedad de insesgamiento de la esperanza condicional es una
consecuencia inmediata de la misma propiedad para T,pues

EpEpT | Uqq “ EpTq“ τpθq.

2. Finalmente veamos que la varianza de la esperanza condicional es
menor o igual a la varianza del estimador insesgado original. Tenemos
que

2
VarpTq“ EpT ´ τpθqq
2
“ ErpT ´ EpT | Uqq ` pEpT | Uq´ τpθqqs
2 2
“ ErT ´ EpT | Uqs ` ErEpT | Uq´ τpθqs

`2 ¨ ErT ´ EpT | Uqs ¨ ErEpT | Uq´ τpθqs
2 2
“ ErT ´ EpT | Uqs ` ErEpT | Uq´ τpθqs

`2 ¨rEpTq´ EpTqs ¨ rEpTq´ τpθqs
2 2
“ ErT ´ EpT | Uqs ` ErEpT | Uq´ τpθqs
2
ě ErEpT | Uq´ τpθqs
“ VarpEpT | Uqq.

2
Adem´as, esta desigualdad es una igualdad si y s´olo si ErT´EpT | Uqs “
0. Pero la esperanza de esta variable aleatoria no negativa es ce-
ro si y s´olo si la variable misma es cero casi seguramente, esto es,
T “ EpT | Uq c.s.

‚

De esta manera, un estimador insesgado T puede mejorarse en el sentido de
producir a trav´es de ´el otro estimador insesgado de varianza menor o igual
a la varianza de T.Estemejoramiento selogra calculando su esperanza con-
dicional respecto de alguna estad´ıstica suficiente.