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216 2. Estimaci´ on puntual

2.16. Teorema de Rao-Blackwell

El siguiente resultado establece un procedimiento importante para mejorar
un estimador insesgado a trav´es de una estad´ıstica suficiente. La mejor´ıa
consiste en proponer un nuevo estimador insesgado con varianza menor o
igual a la varianza del estimador insesgado original. Para ello se necesita el

c´alculo de una esperanza condicional.

5
Teorema 2.7 (Rao-Blackwell ) Sea T un estimador insesgado para
una funci´on parametral unidimensional τpθq ysea U una estad´ıstica su-
ficiente para θ. Entonces la variable aleatoria EpT | Uq es una estad´ıstica
que es funci´on de U ycumple losiguiente:

1. EpT | Uq es insesgado para τpθq.

2. VarpEpT | Uqq ď VarpTq,
con igualdad ô T “ EpT | Uq c.s.

Demostraci´on. Veamos primero que la esperanza condicional EpT | Uq
es una estad´ıstica. Para cada valor u de U,tenemos que

EpT | U “ uq“ EpTpX ,...,X q| U “ uq
1
n
ż
n
n
n
“ Tpx q fpx | U “ uq dx .
R n
El primer factor del integrando no depende de θ pues T es una estad´ıstica.
El segundo factor tampoco depende de θ pues U es suficiente. Concluimos
que la variable aleatoria EpT | Uq no depende de θ ypor lo tanto esuna
estad´ıstica. Este es el ´unico punto en la demostraci´on en donde se hace uso
de la hip´otesis de que U es suficiente.

Veamos ahora que la estad´ıstica EpT | Uq es funci´on de la estad´ıstica U.
Para enfatizar que U es una funci´on de una muestra aleatoria, a esta es-
n
peranza condicional la escribiremos como EpT | UpX ,...,X qq. Sean x y
1
n
5 Calyampudi Radhakrishna Rao (1920–), matem´atico y estad´ıstico hind´u.
5
David Harold Blackwell (1919–2010), estad´ıstico estadounidense.