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2.15 Esperanza condicional 215

a) Epc | Xq. d) EpX | cXq. pc ‰ 0q

b) EpX | cq. e) EpX ` c | Xq.

c) EpcX | Xq. f ) EpX | X ` cq.

246. Sea X una variable aleatoria con esperanza finita y sea Y una variable
aleatoria discreta. Demuestre directamente que

EpEpX | Y qq “ EpXq.

247. Sea X una variable aleatoria con esperanza finita e independiente de
la variable aleatoria discreta Y .Demuestredirectamenteque

EpX | Y q“ EpXq.

248. Sea pX, Y q un vector aleatorio discreto con funci´on de probabilidad co-

mo aparece abajo. Encuentre la distribuci´on de las variables aleatorias
EpX | Y q y EpY | Xq.

x z y 0 1
a) 0 1{8 1{4

1 1{4 3{8

x z y ´1 1

b) 1 1{8 1{4
2 1{8 1{8
3 1{4 1{8

x z y ´1 0 1

c) 1 1{9 1{9 1{9
2 1{9 1{9 1{9
3 1{9 1{9 1{9

249. Sean X ,...,X variables aleatorias con id´entica distribuci´on y con
n
1
esperanza finita. Demuestre que
1
1
EpX | X `¨ ¨ ¨ ` X q“ pX `¨ ¨ ¨ ` X q.
1
1
n
n
n