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2.15 Esperanza condicional 213

‚ Si X es G -medible, entonces es inmediato comprobar que X mismo
cumple las tres condiciones de la Definici´on 2.28 y por la propiedad

de unicidad tenemos que

EpX | G q“ X.

‚ Si X es independiente de G ,entonces

EpX | G q“ EpXq.

‚ Si Y es G -medible y acotada, entonces

EpX ¨ Y | G q“ Y ¨ EpX | G q.

‚ Si G Ď G son dos subsigmas ´algebras, entonces
1
2
EpEpX | G q| G q“ EpEpX | G q| G q“ EpX | G q.
1
1
2
2
1
Las siguientes propiedades son de particular inter´es en el c´alculo expl´ıcito
de la esperanza condicional.

‚ Sea Y una variable aleatoria y sea ω un punto en el espacio muestral.
Suponga que Y pωq“ y.Entoncesel n´umero EpX | Y “ yq es el valor
de la esperanza condicional EpX | Y q evaluada en ω,es decir,

EpX | Y qpωq“ EpX | Y “ yq.

‚ Si Y es discreta con valores 0, 1,... entonces EpX | Y q tambi´en es
discreta y toma los siguiente valores

8
ÿ
EpX | Y qpωq“ EpX | Y “ yq¨ 1 pωq
pY “yq
y“0
$
’ EpX | Y “ 0q si Y “ 0,
’
&
EpX | Y “ 1q si Y “ 1,
“
’ . .
’ . .
% . .
Adem´as, la esperanza condicional toma el valor EpX | Y “ yq con
probabilidad dada por la suma de las probabilidades de los eventos
pY “ yq que produzcan tal valor.