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214 2. Estimaci´ on puntual
El siguiente ejemplo es un caso particular de la ´ultima propiedad y ayuda
aentendermejorelconcepto de esperanza condicional.
Ejemplo 2.52 Sea X una variable aleatoria con esperanza finita y sea Y
otra variable aleatoria con distribuci´on Berpθq.Entonces
EpX | Y q“ EpX | Y “ 0q¨ 1 ` EpX | Y “ 1q¨ 1 ,
pY “0q pY “1q
en donde las esperanzas condicionales que aparecen en el lado derecho son
las usuales de la probabilidad elemental. M´as expl´ıcitamente,
#
EpX | Y “ 0q si Y pωq“ 0,
EpX | Y qpωq“
EpX | Y “ 1q si Y pωq“ 1.
De esta manera, la variable aleatoria W :“ EpX | Y q toma los dos valores
que aparecen en la expresi´on anterior y su distribuci´on es
Pp W “ EpX | Y “ 0qq “ 1 ´ θ,
Pp W “ EpX | Y “ 1qq “ θ.
‚
El concepto de esperanza condicional ser´ade utilidad para entender el teo-
rema de Rao-Blackwell y el teorema de Lehmann-Scheff´equeestudiaremos
en las siguientes secciones.
Ejercicios
244. A partir de la Definici´on 2.28 que aparece en la p´agina 211, demuestre
las siguientes propiedades de la esperanza condicional.
a) EpEpX | G qq “ EpXq.
b)Si X es G -medible entonces EpX | G q“ X.
245. Sea X una variable aleatoria con esperanza finita y sea c una cons-
tante. Encuentre las siguientes esperanzas condicionales.
