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212 2. Estimaci´ on puntual

cuando

G “ σpY q.
El t´ermino σpY q denota la m´ınima sigma ´algebra respecto de la cual Y es
variable aleatoria. En este caso, se escribe EpX | Y q en lugar de EpX | G q.

Remarcamos esto a continuaci´on.

Notaci´on.Cuando G “ σpY q,en donde Y es una variable aleatoria, la
esperanza condicional EpX | G q se escribe EpX | Y q.

Debido a la propiedad de unicidad casi segura, las igualdades o desigual-
dades entre una esperanza condicional y otra variable aleatoria son en el
sentido casi seguro (c.s.), y a menudo omitiremos tal especificaci´on. En ge-
neral no es sencillo encontrar expresiones expl´ıcitas para la esperanza condi-
cional o para su distribuci´on, ni tampoco la definici´on impl´ıcita que hemos

dado l´ıneas arriba permite su manejo directo. La manera de trabajar con
la esperanza condicional es a trav´es de sus propiedades. Mencionaremos a
continuaci´on algunas de ellas.

‚ La esperanza condicional es ´unica casi seguramente. Esto significa que
si existe una variable aleatoria W que cumple las tres condiciones de
la Definici´on 2.28, entonces W “ EpX | G q c.s., es decir,

Pr W “ EpX | G qs “ 1.

‚ La esperanza condicional es lineal, es decir, si X y Y son variables
aleatorias con esperanza finita y a es una constante, entonces

EpaX ` Y | G q“ aEpX | G q` EpY | G q.

‚ La esperanza condicional es mon´otona creciente, es decir, si X ď Y
son variables aleatorias con esperanzas finitas, entonces

EpX | G q ď EpY | G q.

‚ La esperanza de la variable aleatoria EpX | G q es id´entica a la espe-

ranza de X,es decir,

EpEpX | G qq “ EpXq.