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2.15 Esperanza condicional 211

2.15. Esperanza condicional

Esta secci´on contiene una revisi´on breve sobre el concepto de esperanza
condicional de una variable aleatoria respecto de una sigma ´algebra. Los
resultados que se mencionan aqu´ıse proporcionan sindemostraci´on y pue-
den estudiarse con mayor detalle, por ejemplo, en el texto de David Wi-
lliams [28]. El concepto de esperanza condicional nos ser´ade utilidad enla
b´usqueda de estimadores insesgados de varianza m´ınima.

Sea pΩ, F,Pq un espacio de probabilidad y sea X una variable aleatoria

definida sobre este espacio y con esperanza finita. Sea G una subsigma
´ algebra de F,esto significa que G es una sigma ´algebra de subconjuntos de
Ω yque G Ď F.

Definici´on 2.28 La esperanza condicional de X dado G es una va-
riable aleatoria que se denota por EpX | G q yse define mediante las
siguientes tres propiedades:

1. EpX | G q es G -medible, esto significa que EpX | G q es una variable
aleatoria respecto de la subsigma ´algebra G .

2. EpX | G q tiene esperanza finita.

3. Para cualquier evento G en G ,

EpEpX | G q¨ 1 q“ EpX ¨ 1 q.
G
G

Una de las dificultades para entender el concepto de esperanza condicional
radica en que ´esta no se define de manera expl´ıcita, sino a trav´es de las tres
propiedades mencionadas. En cursos avanzados de probabilidad se demues-

tra que la esperanza condicional existe y es la ´unica variable aleatoria, en
el sentido casi seguro, que satisface estas propiedades.

En este trabajo vamos a usar la esperanza condicional en el caso cuando
la subsigma ´algebra G es generada por una variable aleatoria Y ,es decir,