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210 2. Estimaci´ on puntual

a) pT ,T q es suficiente para θ.
2
1
b) pT ,T q no es suficiente minimal para θ.
2
1

2.14. M´etodos para probar suficiencia

Amanera deresumen,enesta brevesecci´on recolectamos los m´etodos men-

cionados antes para demostrar la propiedad de suficiencia para una estad´ısti-
ca T.

‚ Use directamente la Definici´on 2.22.

‚ Aplique el teorema de factorizaci´on 2.3.

‚ Compruebe que la estad´ıstica T es una biyecci´on de otra estad´ıstica
que se sabe que es suficiente.

‚ Si se desea probar suficiencia de T para una funci´on parametral, veri-
fique si la estad´ıstica es suficiente para el par´ametro en cuesti´on.

‚ Demuestre que la informaci´on de Fisher de la muestra aleatoria coin-
cide con la informaci´on de Fisher de T.

En el caso que se desee probar que una estad´ıstica T no es suficiente, tenemos
las siguientes opciones:

‚ Use directamente la Definici´on 2.22 proporcionando un punto muestral
px ,...,x q yunvalor t de la estad´ıstica T tal que la distribuci´on con-
1
n
junta de la muestra aleatoria evaluada en px ,...,x q ycondicionada
n
1
al evento pT “ tq dependa del par´ametro.
‚ Suponiendo conocido que otra estad´ıstica T es suficiente minimal,
1
se puede comprobar que T no es suficiente suponiendo que lo es y
llegando a una contradicci´on: como T es suficiente minimal, es funci´on
1
n n 1 n
de T, es decir, la condici´on Tpx q“ Tpy q implica que T px q“
n
n
n
T py q.As´ı, si se pueden proveer dos puntos muestrales x y y tales
1
n
n
n
n
que Tpx q“ Tpy q,peroque T px q‰ T py q,entonces T no ser´ıa
1
1
funci´on de T , y forzosamente T no ser´ıa suficiente. En el Ejemplo 2.48
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que aparece en la p´agina 204 se muestra este procedimiento.