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2.13 Suficiencia minimal 209

238. Distribuci´on Poisson: no suficiencia. Sea X ,X una muestra
1
2
aleatoria de tama˜no n “ 2 de la distribuci´on Poissonpθq, en donde
θ es desconocido. Usando el hecho de que T “ X ` X es suficiente
2
1
minimal para θ, demuestre que la siguiente estad´ıstica no es suficiente.
S “ X ´ X .
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239. Distribuci´on uniforme. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la
n
1
distribuci´on unif p0, θq.Demuestre quela ´ultima estad´ıstica de orden
T “ X pnq es suficiente minimal para θ.

240. Distribuci´on uniforme. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la
n
1
distribuci´on unif pθ ´ 1, θ ` 1q.Demuestrequeel vector pX ,X q es
p1q pnq
suficiente minimal para θ.

241. Distribuci´on uniforme. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la
1
n
distribuci´on unifpθ ´ 1{2, θ ` 1{2q,en donde θ es desconocido. Deter-
mine si

a) X es suficiente para θ.
p1q
b) X es suficiente para θ.
pnq
c) pX ,X q es suficiente para θ.
p1q pnq
242. Distribuci´on normal: no suficiencia. Sea X ,X una muestra alea-
1
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toria de tama˜no n “ 2 de la distribuci´on Npθ, 1q,en donde θ es des-
conocido. Usando el hecho de que T “ X ` X es suficiente minimal
2
1
para θ,demuestrequela siguienteestad´ıstica no es suficiente.
S “ X ` 2X .
1
2
243. Distribuci´on normal: suficiencia pero no minimalidad. Sea
2
X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on Npθ, σ q.Suponga
n
1
que n es par y defina las estad´ısticas
T “ X `¨ ¨ ¨ ` X ,
1
n
T 1 “ X ` X `¨ ¨ ¨ ` X n´1 ,
3
1
T 2 “ X ` X `¨ ¨ ¨ ` X .
n
4
2
Claramente T “ T `T yesinmediato comprobar que T es suficiente
1
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para θ.Demuestreque