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208 2. Estimaci´ on puntual

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a)binpk, θq. d)Npθ, σ q.
b)Poissonpθq. e) gamapγ, θq.

c)geopθq.

234. Sea T una estad´ıstica suficiente minimal para un par´ametro θ ysea a ‰
0una constante conocida. Demuestre que lassiguientes estad´ısticas
tambi´en son suficientes minimales.

a) T ` a.

b) aT.
T
c) e .

235. Distribuci´on Bernoulli: no suficiencia. Sea X ,X ,X una mues-
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tra aleatoria de tama˜no n “ 3de la distribuci´on Berpθq.Usandoquela
estad´ıstica T “ X ` X ` X es suficiente minimal para θ,demuestre
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que las siguientes estad´ısticas no son suficientes.
a) S “ X ` X .
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b) S “ X ` 2X ` 3X .
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c) S “ X ` 2X ` X .
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236. Distribuci´on Bernoulli: no suficiencia. Sea X ,...,X una mues-
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tra aleatoria de tama˜no n “ 4de la distribuci´on Berpθq, con 0 ă θ ă 1
desconocido. Usando el hecho de que T “ X ` X ` X ` X es su-
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1
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ficiente minimal para θ,demuestre quelasiguiente estad´ıstica no es
suficiente.
S “ X pX ` X q` X .
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237. Distribuci´on geom´etrica. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de
1
n
la distribuci´on geopθq,con 0 ă θ ă 1desconocido,como semuestra
abajo. Demuestre que la estad´ıstica T “ X `¨ ¨ ¨ ` X es suficiente
1
n
minimal para θ.
#
x
θp1 ´ θq si x “ 0, 1,...
fpx, θq“
0 en otro caso.