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2.13 Suficiencia minimal 207

a) S “ X ´ X , T “ X ` X .
2
1
2
1
b) S “ X ` X , T “ X .
1
2
1
c) S “ X ` X , T “ X ` X ` X .
1
3
1
2
2
2
d) S “ X `¨ ¨ ¨ ` X , T “pX `¨ ¨ ¨` X q .
1
n
1
n
e) S “ X `¨ ¨ ¨ ` X , T “ X pnq .
1
n
f ) S “pX ,...,X q, T “ X pnq .
n
1
g) S “pX ,...,X q, T “ X p1q .
1
n
h) S “ X `¨ ¨ ¨ ` X , T “pX p1q ,X pnq q.
n
1
i) S “pX ,...,X q, T “pX p1q ,X pnq q.
n
1
j) S “ X `¨ ¨ ¨ ` X , T “ X `¨ ¨ ¨ ` X , 1 ď k ď n ´ 1.
k
n
1
1
231. Sea X ,...,X una muestra aleatoria y sean S, T y U tres estad´ısticas.
1
n
Demuestre las siguientes afirmaciones.
a)Transitividad: si U es funci´on de T y T es funci´on de S,entonces
U es funci´on de S.
b)Simetr´ıa: T es siempre funci´on de T.
c)No reflexividad: si T es funci´on de S,entonces nonecesariamente
S es funci´on de T.
232. El estimador m´aximo veros´ımil es funci´on de cualquier es-
tad´ıstica suficiente. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una
n
1
distribuci´on fpx, θq, con θ desconocido. Suponga que existe un ´uni-
ˆ
co estimador θ para θ por el m´etodo de m´axima verosimilitud. De-
ˆ
muestre que θ es funci´on de cualquier estad´ıstica suficiente para
θ.

233. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on especificada
1
n
abajo, en donde θ es un par´ametro desconocido. Suponga que cualquier
otro par´ametro que pudiera aparecer en la distribuci´on es conocido.
Demuestre directamente que la estad´ıstica T “ X `¨ ¨ ¨` X n es
1
suficiente minimal.