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206 2. Estimaci´ on puntual

n
n
es minimal, T es funci´on de S,yporlo tanto, Tpx q“ Tpy q.Entonces
n
n
pτ ˝ Tqpx q“pτ ˝ Tqpy q,es decir, τ ˝ T es funci´on de S.Por lo tanto, la
composici´on τ ˝ T es suficiente minimal. ‚
Concluimos esta secci´on mostrando algunos ejemplos del resultado reci´en
demostrado.

Ejemplo 2.50 Para la distribuci´on Berpθq,sabemos que la estad´ıstica T “
X `¨ ¨ ¨` X es suficiente minimal para θ.Definiendo la funci´on biyectiva
1
n
¯
τptq“ t{n se obtiene que la media muestral τpTq“ X es tambi´en suficiente
minimal. ‚

Ejemplo 2.51 Sabemos que el vector de estad´ısticas pT ,T q dadas por
2
1
n n
ÿ ÿ 2
pT ,T q“p X , X q
1
2
i
i
i“1 i“1
2
es suficiente minimal para el vector de par´ametros de la distribuci´on Npµ, σ q.
Considere la funci´on τpt ,t q especificada abajo. Puede comprobarse que τ
1
2
es biyectiva cuando se le considera definida sobre una regi´on adecuada de R 2
¯
2
yque τpT ,T q“pX, S q. Por lo tanto, la media y varianza muestrales son
2
1
estad´ısticas suficientes minimales para los par´ametros de esta distribuci´on.
t 1 nt ´ t 2
2
τpt ,t q“p , 1 q.
1
2
n npn ´ 1q
‚
Como un ejemplo general de estad´ıstica suficiente minimal, en la secci´on 2.19
al final del presente cap´ıtulo, se demuestra un resultado que establece que
una cierta estad´ıstica es suficiente minimal para cada distribuci´on de la fa-
milia exponencial.

Ejercicios

230. Sea X ,...,X una muestra aleatoria. Determine si la estad´ıstica T
1
n
indicada es funci´on de la estad´ıstica S.