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2.13 Suficiencia minimal 205

Ejemplo 2.49 Sea X ,...,X n una muestra aleatoria de la distribuci´on
1
2
Npµ, σ q.Demostraremos queel vectordeestad´ısticas

n n
ÿ ÿ
2
pT ,T q“p X , X q
i
2
1
i
i“1 i“1
n
n
2
es suficiente minimal para el vector de par´ametros pµ, σ q. Sean x y y dos
puntos muestrales cualesquiera. Despu´es de algunos c´alculos puede compro-
barse que
n 2 ” n n n n ı
fpx , µ, σ q 1 ÿ 2 ÿ 2 µ ÿ ÿ
“ exp ´ p x ´ y q` p x ´ y q .
n 2 2 i i 2 i i
fpy , µ, σ q 2σ σ
i“1 i“1 i“1 i“1

2
Esto no depende de pµ, σ qô el exponente es cero
para todo valor de µ y σ 2
n n n n
ÿ ÿ ÿ ÿ
2
ô x “ y i y x “ y i 2
i
i
i“1 i“1 i“1 i“1
n
n
n
n
ô T px q“ T py q y T px q“ T py q.
1
2
2
1
‚
Demostraremos a continuaci´on que toda funci´on biyectiva de una estad´ıstica
suficiente minimal es tambi´en suficiente minimal. Este resultado es tambi´en
v´alido en el caso vectorial.

Proposici´on 2.10 Toda funci´on biyectiva de una estad´ıstica suficiente
minimal es tambi´en suficiente minimal.

Demostraci´on. Veamos primero la suficiencia. Sabemos que toda funci´on

biyectiva de una estad´ıstica suficiente es tambi´en suficiente por la Propo-
sici´on 2.4 de la p´agina 175. De modo que esta propiedad ya es conocida.
Ahora veamos la minimalidad. Sea T una estad´ıstica suficiente minimal y
sea τ una funci´on biyectiva. Sea S otra estad´ıstica suficiente. Supongamos
n
n
n
n
que x y y son dos puntos muestrales tales que Spx q“ Spy q.Como T