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204 2. Estimaci´ on puntual

simplificaciones se obtiene que

n ˆ ˙ n¯x´n¯y
fpx , θq θ
“ .
n
fpy , θq 1 ´ θ

Por lo tanto, T es suficiente minimal pues se verifica que

n
fpx , θq
no depende de θ ô n¯x ´ n¯y “ 0
n
fpy , θq
n
n
ô Tpx q“ Tpy q.

‚

El siguiente ejemplo es particularmente interesante, pues muestra una ma-
nera de usar la suficiencia minimal de una estad´ıstica para demostrar la no
suficiencia de otra estad´ıstica.

Ejemplo 2.48 Sea X ,X ,X una muestra aleatoria de tama˜no n “ 3de
2
3
1
la distribuci´on Berpθq.Demostraremos quela estad´ıstica

S “ X ¨ X ` X 3
1
2

no es suficiente para θ.Supongamoslo contrario:supongamosque S es
suficiente. Como T “ X ` X ` X es suficiente minimal, T debe ser
3
2
1
n n
funci´on de S, es decir, debe cumplirse la implicaci´on Spx q“ Spy qñ
n
n
Tpx q“ Tpy q.Sin embargo,esto no es as´ıpues Sp0, 0, 0q“ Sp0, 1, 0q“ 0
y Tp0, 0, 0q“ 0 ‰ Tp0, 1, 0q“ 1. Se concluye que T no es funci´on de S y
por lo tanto S no es suficiente. ‚

Veamos ahora un ejemplo en el caso vectorial.