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2.13 Suficiencia minimal 203

n
n
para ciertas funciones no negativas g y h. Sean x y y dos valores de la
n n n
muestra aleatoria tales que Spx q“ Spy q.Demostraremos que Tpx q“
n
Tpy q.Tenemosque
n n n
fpx , θq gpSpx q, θq¨ hpx q
“
n n n
fpy , θq gpSpy q, θq¨ hpy q
n
hpx q
“ .
n
hpy q
Esto significa que este cociente no depende de θ.Usandola implicaci´on de
n
n
izquierda a derecha de la hip´otesis, se obtiene que Tpx q“ Tpy q,esdecir,
T es funci´on de S. ‚

Observemos que para demostrar la suficiencia se us´o´unicamente la impli-
caci´on de derecha a izquierda de la hip´otesis, mientras que para demostrar
la minimalidad se us´olaimplicaci´on de izquierda a derecha. Es decir, po-
demos establecer los resultados parciales en el sentido de suponer una de

las implicaciones para obtener las propiedades por separado, aunque, por
supuesto, para la minimalidad se requiere primero la suficiencia.

Por otro lado, es crucial observar el significado l´ogico de las dos implica-
ciones que aparecen en (2.16). Estas afirmaciones no establecen que si se
n
n
cumple una de las condiciones para todo par de valores x y y de la mues-
tra aleatoria, entonces se cumple la otra condici´on. Lo que establecen es
n
n
que si para alg´un par de valores x y y se cumple una de las condiciones,
entonces para ese par de valores muestrales se cumple la otra condici´on.
Esto incluye la posibilidad de no existan dos puntos muestrales distintos en
donde se cumpla alguna de las condiciones.

A continuaci´on veremos algunos ejemplos en donde se muestra la utilidad
del teorema anterior.

Ejemplo 2.47 Sea X ,...,X n una muestra aleatoria de la distribuci´on
1
Berpθq.Hemos demostrado antes que la estad´ıstica

T “ X `¨ ¨ ¨ ` X n
1
es suficiente para θ.Demostraremos ahora que T es adem´as minimal. Sean
n
n
x y y dos posibles valores de la muestra aleatoria. Despu´es de algunas