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202 2. Estimaci´ on puntual

t
px ,...,x q
n
1

py ,...,y q
n
1
R n

Figura 2.11

n
n
Por construcci´on, se cumple que Tpx q“ Tpy q“ t yhaciendo usodela
implicaci´on de derecha a izquierda de la hip´otesis se obtiene que el cociente
n
n
fpx , θq{fpy , θq no depende de θ,esdecir,
n
fpx , θq
n
n
“ h px ,y q,
n 0
fpy , θq
para alguna funci´on h no negativa, dependiente ´unicamente de los argu-
0
mentos indicados. Por lo tanto,

n n n n
fpx , θq“ fpy , θq¨ h px ,y q
0
n
n
“ gpTpx q, θq¨ hpx q,
n
en donde el factor fpy , θq se ha escrito como una funci´on no negativa
n
n
n
n
gpTpx q, θq,pues y depende de x ´unicamente a trav´es de Tpx q.Else-
n
gundo factor es una funci´on hpx q dependiente ´unicamente de x n pues,
n
n
nuevamente, observamos que y depende de x . El teorema de factorizaci´on
n
garantiza la suficiencia. Para los puntos muestrales x en donde no existe
otro punto muestral tal que bajo T tome el valor t,cualquierfunci´on de x n
n
es funci´on de Tpx q“ t ylasafirmacionesanterioresse cumplen.
Ahora veamos la minimalidad. Sea S otra estad´ıstica suficiente para θ. Por
n
el teorema de factorizaci´on, para cualquier valor x de la muestra aleatoria,

n
n
n
fpx , θq“ gpSpx q, θq¨ hpx q,